Publikacje edukacyjne
strona główna  archiwum  dziedziny  nowości  zasady  szukaj  pomoc  poczta  redakcja 
               

 

Publikacja nr
139
rok szkolny
2002/2003

 
Archiwum publikacji
w serwisie Publikacje edukacyjne

Tangens kąta ostrego - wprowadzenie w sposób problemowy

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM : "Tangens kąta ostrego - wprowadzenie w sposób problemowy."
/zgodnie z programem Błękitna Matematyka/

TEMAT: TANGENS KĄTA OSTREGO-WPROWADZENIE.

CELE LEKCJI:

1. Ogólne:

  • Doskonalenie wnikliwości przy obserwowaniu i analizowaniu konkretnych sytuacji
  • Rozwijanie zdolności do skupienia uwagi, koncentracji i wysiłku
  • Przyzwyczajanie uczniów do staranności, dokładności i estetyki
  • Kształtowanie spostrzegawczości i wyobraźni geometrycznej ucznia
  • Kształtowanie umiejętności korzystania z wcześniej poznanych przez uczniów faktów do rozwiązania nowego problemu
  • Wyrabianie aktywności u uczniów - praca w małych grupach

    2. szczegółowe:

  • zna wiadomości o podobieństwie trójkątów
  • zna twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie
  • potrafi rysować trójkąt prostokątny, gdy znamy przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej
  • potrafi rysować odcinki w skali oraz obliczać rzeczywiste wymiary szukanych odcinków
  • potrafi podać przykłady proporcji geometrycznej kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
  • potrafi przedstawić przyjęte rozwiązanie
  • zna pojęcie i definicję tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
  • potrafi wyznaczyć tangensy kątów w trójkącie prostokątnym, znając długości co najmniej dwóch boków

    ŚRODKI NAUCZANIA: gotowe rysunki ( wykonane w kilku różnych skalach) budynków i padającym cieniem pod zadanym kątem 64°, papier milimetrowy, tabelka stosunków w/c dla różnych kątów co 10° do uzupełnienia, tablice funkcji trygonometrycznych, podręcznik matematyki do kl. 2 Gimnazjum z serii Matematyka - Błękitna, linijka, kątomierz, kolorowa kreda, ćwiczenia do uzupełnienia.

    METODY NAUCZANIA: wyjaśnienie, ćwiczenia, pogadanka, wprowadzenie pojęcia i definicji tangensa kąta ostrego w ? prostokątnym w sposób problemowy.

    FORMY PRACY: praca samodzielna uczniów, praca w małych zespołach, praca z całą klasą.

    PLAN LEKCJI:

    I. CZĘŚĆ ORGANIZACYJNA: przywitanie uczniów, sprawdzenie obecności oraz pracy domowej.
    II. CZĘŚĆ ZASADNICZA:
    1. przypomnienie tw. Pitagorasa, jego praktycznego zastosowania oraz przypomnienie wiadomości o trójkątach podobnych,
    2. Próba wprowadzenia pojęcia tangensa kąta ostrego w ? prostokątnym w sposób problemowy poprzez rozwiązanie zadania 1, wykorzystując dokładny rysunek w skali,
    3. Na podstawie wyników pomiarów z rysunków (wykonane w kilku różnych skalach)-praca w grupach dwuosobowych - rozwiązanie zad. 2.
    4. Pierwszy krok ku definicji tangensa poprzez wykorzystanie wyników z zad.2.
    5. Wypełnienie tabelki stosunków w/c dla różnych kątów na podstawie pomiarów z rysunków,
    6. Wspólne zdefiniowanie tangensa kąta ostrego w formie słownej i symbolicznej,
    III. CZĘŚĆ KOŃCOWA:
    1. Podsumowanie lekcji,
    2. Podanie i wyjaśnienie pracy domowej.

    AD.II/1
    Rozpoczynamy lekcję od przypomnienia istotnych wiadomości potrzebnych do lekcji wprowadzającej funkcję trygonometryczną kąta ostrego - tangens:
    N: Podaj przykłady figur podobnych.
    U: Każde dwa odcinki, koła, okręgi są podobne. Dwa wielokąty o takiej samej liczbie boków są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.
    N: Kiedy figury nazywamy podobne?
    U: Figury są podobne, jeśli różnią się co najwyżej skalą.
    N: Przypomnijmy cechy podobieństwa trójkątów.
    U: Cecha 1: jeżeli dwa trójkąty mają po dwa odpowiednie kąty równe, to trójkąty są podobne(k, k, k).
    Cecha 2: jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta, a zawarte między tymi bokami kąty są równe, to trójkąty są podobne(b, k, b).
    Cecha 3: jeżeli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne(b, b, b).
    N: Stąd otrzymujemy twierdzenia dotyczące podobieństw trójkątów prostokątnych, przypomnijmy.
    U: Jeżeli stosunek przyprostokątnych jednego ? prostokątnego jest równy stosunkowi odpowiednich przyprostokątnych drugiego ? prostokątnego, to takie trójkąty są podobne.
    Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kacie ostrym, których miary są równe, to są podobne.
    N: Na zakończenie krótkiej powtórki przypomnijmy tw. Pitagorasa i jego różne praktyczne zastosowanie.
    U: Jeżeli ? jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie pozwala na obliczenie długości boku trójkąta prostokątnego, gdy dane są długości dwóch pozostałych boków.

    AD.II/2
    N: Tw. Pitagorasa określa związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym. Znacie różne praktyczne zastosowania tego twierdzenia. W praktyce może się jednak zdarzyć też tak, że będziemy mieli w trójkącie prostokątnym dany kąt i jeden z boków. Jak wtedy obliczyć długości pozostałych boków?
    Spróbujmy rozwiązać zad. 1:Oto ogrodnik, dla zaprojektowania zieleńca wokół bloku, chce wiedzieć, jaka jest najdalsza granica cienia po północnej stronie bloku w południe w okresie od kwietnia do września. Od znajomego astronoma dowiedział się, że kąt promieni przy najniższym stanie słońca w południe wynosi 64°.Obliczył też (jak?), że blok ma około 30 m wysokości. Jak może sobie poradzić? Czy może sobie pomóc rysunkiem?
    PO WSPÓLNYM USTALENIU Z UCZNIAMI, że długość cienia można znaleźć poprzez wykonanie dokładnego rysunku w skali i pomiarze na nim odpowiedniego odcinka i długość pomnożyć przez odwrotność skali - każdy uczeń samodzielnie rozwiązuje zadanie, kreśląc na papierze milimetrowym rysunek w skali i mierzy cień oraz oblicza jego prawdziwą długość.

    AD.II/3.
    N: Zad.2:Na to samo pytanie ogrodnik będzie musiał odpowiedzieć projektując zieleńce wokół innych domów i bloków różnej wysokości; czy może posłużyć się tym samym rysunkiem?
    U: Tak, ponieważ długość cienia jest proporcjonalna do wysokości bloku.
    N: Nauczyciel rozdaje uczniom gotowe rysunki (wykonane w kilku różnych skalach), gdzie wysokości bloków są różne.
    Przykładowy rysunek:

    U: Każdy uczeń sprawdza dane, mierzy cień i wysokość budynku, oblicza prawdziwe długości.

    AD.II/4.
    N: Jakie cechy posiadają trójkąty z rysunków?
    U: Są to trójkąty prostokątne, o odpowiednich równych kątach - czyli są to trójkąty podobne.
    N: Jakie jeszcze wnioski nasuwają się z podobieństwa trójkątów?
    U: Z podobieństwa trójkątów( na podstawie równości kątów) wynika, że stosunek długości przyprostokątnych jest - przy danym kącie - zawsze taki sam.
    N: Skoro stosunek jest stały, czyli długość cienia jest proporcjonalna do wysokości bloku, to ile ten stosunek wynosi?

    Uczniowie mają wyniki swoich pomiarów( różne), mogą więc ten stosunek obliczyć.
    Na podstawie zebranych wyników z poszczególnych grup i zapisanych na tablicy w tabelce uczniowie zauważą, że:

  • Otrzymali liczby bliskie 2,
  • Długość cienia jest niemal dokładnie połową wysokości bloku (lub mniejsza),
  • Stosunek wysokości budynku do długości cienia jest wielkością stałą : W1 /C1 =W2 /C2
    dla danego kąta 64°.

    AD.II/5.
    N: Nasz ogrodnik zaczął jeździć po świecie, by projektować zieleńce. Chciałby szybko obliczać zasięg cienia w okresie wegetacji. Co powinien sobie przygotować?
    Uczniowie proponują powtórzenie zadania 1 dla różnych kątów.
    N: Przygotujemy dla ogrodnika tabelkę stosunków wysokości budynku do długości cienia przy różnych kątach.
    Uczniowie otrzymują kartki z gotowym rysunkiem i tabelkę stosunków W/C dla różnych kątów do wypełnienia:

    Uczniowie mogą to zrobić również sami dla kątów np. co 10°, posługując się kątomierzem i papierem milimetrowym(zależy to od uzdolnień matematycznych uczniów).

    AD.II/6.
    Teraz nauczyciel informuje uczniów, że jeżeli kąt nazywa się ?, to stosunek W/C nazywa się tangensem ? i oznacza się symbolicznie tg ?, wpisując odpowiednie symbole do tabelki.
    Uczniowie określają tangens jako stosunek wysokości budynku do długości jego cienia.
    Na podstawie powyższego określenia uczniowie mogą sami zaproponować ogólną definicję tangensa, w formie słownej i symbolicznej:
    Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości drugiej przyprostokątnej:

    AD.III/1.
    N: W trójkącie prostokątnym stosunek długości jednego boku trójkąta do długości drugiego jest funkcją kąta ostrego, ponieważ każdemu kątowi ostremu odpowiada tylko jedna wartość stosunku długości dwóch boków trójkąta.
    Każdy z tych stosunków nazywamy funkcją trygonometryczną tego kąta.. Każda z nich ma swoją nazwę i oznaczona jest odrębnym symbolem. Na kolejnych lekcjach matematyki poznamy: sinus, cosinus i cotangens kąta ostrego.
    Podsumowując temat, nauczyciel pokazuje uczniom " prawdziwe" tablice funkcji trygonometrycznych.

    AD.III/2.
    N: Aby utrwalić pojęcie tangensa kąta ostrego uczniowie uzupełniają ćwiczenie:

    Na zakończenie lekcji nauczyciel ocenia pracę i aktywność wszystkich uczniów oraz podaje i wyjaśnia zadanie domowe:
    Ile wynosi tangens kąta nachylenia przekątnej do boku w kwadracie o boku 6 cm?

    LITERATURA:

  • H. Kąkol, S. Wołodźko - "Błękitna Matematyka - podręcznik dla klasy drugiej gimnazjum". Wydawnictwo "Kleks" Bielsko - Biała 2000.
  • S. Turnau "O lekcji matematyki" - artykuł z czasopisma "Matematyka" nr 1/1986

    mgr inż. Bernadeta Josek
    Gimnazjum w Chybiu


  • Zaświadczenie online



    numer online: 115 gości

    reklama