Liczby złożone, nazywane również liczbami zespolonymi, stanowią fascynujące i często niedoceniane zagadnienie w matematyce. W niniejszym artykule przyjrzymy się liczbom złożonym, począwszy od ich podstaw, poprzez wprowadzenie do ich działania, aż po zastosowania w praktyce.
Czym są liczby złożone?
Liczby złożone są wyrażeniami matematycznymi, które obejmują liczby rzeczywiste oraz tzw. jednostkę urojoną. Liczby rzeczywiste to te, z którymi mamy do czynienia na co dzień – liczby całkowite, ułamki, liczby niewymierne itp. Jednostka urojona, oznaczana jako „i”, jest z kolei zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z -1, co oznacza, że i^2 = -1.
Liczba złożona ma postać: a + bi
, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Przykładem liczby złożonej może być 3 + 4i.
Część rzeczywista i urojona
Każda liczba złożona ma dwie części: część rzeczywistą oraz część urojoną. W powyższym przykładzie, część rzeczywista to 3, a część urojona to 4i. Część rzeczywista liczby złożonej można traktować jako współrzędną na osi rzeczywistej, natomiast część urojona – jako współrzędną na osi urojonej. Dzięki temu, liczby złożone można przedstawiać na płaszczyźnie zespolonej.
Poznaj również: Liczby pierwsze
Operacje na liczbach złożonych
Podstawowe operacje na liczbach złożonych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie. Oto, jak wykonywać te działania:
Dodawanie: aby dodać dwie liczby złożone, wystarczy dodać ich części rzeczywiste oraz części urojone:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Odejmowanie: podobnie jak w dodawaniu, wystarczy odjąć części rzeczywiste oraz części urojone:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Mnożenie: podczas mnożenia liczb złożonych, należy je traktować jak wyrażenia algebraiczne:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + (bd)i^2
Następnie, warto pamiętać, że i^2 = -1, więc ostatecznie mamy:
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Dzielenie: aby podzielić dwie liczby złożone, musimy najpierw pozbyć się jednostki urojonej z mianownika. Robimy to, mnożąc zarówno licznik, jak i mianownik przez sprzężenie liczby złożonej (liczba z przeciwnym znakiem części urojonej):
(a + bi) / (c + di) = ((a + bi)(c – di)) / ((c + di)(c – di))
Następnie, wykonujemy mnożenie i upraszczamy wyrażenie:
(a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) + (bc – ad)i) / (c^2 + d^2)
Sprzężenie liczby złożonej
Sprzężenie liczby złożonej to liczba złożona z przeciwnym znakiem części urojonej. Sprzężenie liczby a + bi to a – bi. Sprzężenie jest używane w matematyce, szczególnie przy dzieleniu liczb złożonych, ponieważ pozwala na pozbycie się jednostki urojonej z mianownika.
Moduł i argument liczby złożonej
Każda liczba złożona może być również opisana za pomocą modułu oraz argumentu. Moduł liczby złożonej, oznaczany jako |z|, to odległość między początkiem układu współrzędnych a punktem reprezentującym daną liczbę złożoną na płaszczyźnie zespolonej. Oblicza się go według wzoru:
|z| = √(a^2 + b^2)
Argument liczby złożonej, oznaczany jako arg(z), to kąt między dodatnią półosią rzeczywistą a promieniem łączącym początek układu współrzędnych z punktem reprezentującym daną liczbę złożoną. Wartość argumentu można wyznaczyć, korzystając z funkcji arcus tangens (arctan):
arg(z) = arctan(b / a)
Postać trygonometryczna i wzór Eulera
Liczby złożone można również przedstawić w postaci trygonometrycznej:
z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))
gdzie θ to argument liczby złożonej. Wzór Eulera łączy postać trygonometryczną z eksponencjalną:
e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
Dzięki temu, liczby złożone można również przedstawić w postaci eksponencjalnej:
z = |z|e^(iθ)
Zastosowania liczb złożonych
Liczby złożone mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki i technologii.
- Analiza zespolona: liczby złożone są fundamentem analizy zespolonej, która jest gałęzią matematyki zajmującą się funkcjami zespolonymi. Analiza zespolona ma zastosowania w innych dziedzinach matematyki, takich jak analiza rzeczywista, teoria liczb, algebra liniowa czy teoria równań różniczkowych.
- Elektrotechnika: liczby złożone są powszechnie stosowane w elektrotechnice do analizy obwodów prądu zmiennego. Dzięki liczbom złożonym można łatwo analizować amplitudę i fazę prądów i napięć, co jest szczególnie ważne w przypadku obwodów zawierających cewki i kondensatory.
- Fizyka: liczby złożone mają zastosowania w fizyce kwantowej, w której opisują prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia. Funkcje falowe, będące podstawą mechaniki kwantowej, są zazwyczaj funkcjami zespolonymi.
- Przetwarzanie sygnałów: liczby złożone są używane w analizie Fouriera, która pozwala na rozkładanie sygnałów na składowe sinusoidalne. Transformata Fouriera i jej odwrotność są kluczowymi narzędziami w przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, kompresji obrazów czy analizie dźwięków.
- Grafika komputerowa: liczby złożone są stosowane w grafice komputerowej, zwłaszcza w generowaniu fraktali, które to struktury mają często złożoną i fascynującą geometrię.